近況報告
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SPI問題集より

就職活動をしているお友達から、IRCで出題されました。


16.2km離れた2地点A,Bがある。伊藤君はAからBに向かって進み、池田君は伊藤君が出発してから20分後にBからAに進む。丁度正午に2人は出会いそのまま目的地へ向かって進み、伊藤君は午後2時30分にB地点に、池田君は午後1時20分にA地点に着いたという。

この時、次の問いに答えよ。

1.伊藤君が出発してから2人が合うまでの時間を求めよ。

2.池田君の速さは時速何kmか

実はまだ答えを出してないのですが、途中まで書いてみましょう。



問題の単位は、「時速」や「km」ですが計算しづらいので、「分速」と「m」に単位を変換して考えます。
まず、いくつか変数を設定しました。

2地点A,Bのどこかに伊藤君と池田君が出会った地点があるはずです。その地点について、A地点からの距離を「Xm」とします。また、伊藤君の歩く速度を「分速Am」、池田君の歩く速度を「分速Bm」とします。
伊藤君が出発してから池田君と出会うまでの時間を「Y分」とします。正午から「Y分前」に伊藤君がA地点を出発した、とも言い換えられます。

この中で値を求めたい変数はあとで単位変換が必要ですが「Y」と「B」になります。

以上の変数を使って、

距離=速さ×時間

の関係から、問題を式にしてみます。

2人がそれぞれA、B地点を出発してから互いに出会うまで、式にします。

◎伊藤君は、分速AmでY分間移動し、Xm歩いて池田君に出会った。

【式1】

AY=X

◎池田君は、分速Bmで(Y−20)分間移動し、(16200−X)m歩いて伊藤君に出会った。

【式2】

B(Y−20)=16200−X

出発してから、出会うまでに伊藤君と池田君が歩いた距離の合計は、16200mになるので、

【式3】

AY+B(Y−20)=16200

という式も成り立ちます。…って良く見たらこれは【式1】【式2】からXを消しただけですねorz

正午に出会った2人は、それぞれの目的地に向かっています。出会ってから目的地に着くまでを式にします。

◎伊藤君は分速Amで進んで、午後2時30分にB地点へ到達したので、2時間半=150分で16.2kmからXmを引いた距離を進んだ。

【式4】

150A=16200−X

◎同様に、池田君は分速Bmで午後1時20分にA地点へ到着したので、80分で距離Xmを進んだ。

【式5】

80B=X



これらの式から、BとYが求められるようにA,Xを消すように変形したり代入したりしていけばよいはずなのですが、まだ式が足りていない気がするのです。。。

清書(?)したものを眺めていたら、もう2つ関係式を思いつきました。

◎伊藤君は分速Amで(Y+150)分掛かって16200mの距離を歩いた。

【式6】

(Y+150)A=16200

◎池田君は分速Bmで(Y+80−20)分掛かって16200mの距離を歩いた。

【式7】

(Y+60)B=16200



さて、そろそろ解けるかな??
…と思ったのですが、変数を多く使ったせいで消しきれませんorz

ここで行き詰っていたら、同じIRCチャンネルに参加していた「ネットゲームと私」のフィリスさんが2次方程式を作って解いてくれました。その解法は・・・

【フィリスさんの式1】

4/3x + 5/2y =16.2

「池田君が出会ってからAまでの距離+伊藤君が出会ってからBまで距離=16.2km」
つまり「1時間20分*池田君の時速+2時間30分*伊藤君の時速=総距離16.2km」の式になるそうです。
時間を分数で表したところが斬新ですね。

【フィリスさんの式2】

16.2km÷y=16.2x + 1/3 + 1 + 1/6

「16.2kmを伊藤君の時速でかかった時間=池田君のかかった時間+遅れて進みだした20分+到着時間の差1時間と10分」だそうです。
これを「y=」の式に直して式1に代入すると、xの2次方程式がでるので

【フィリスさんの式3】

600x^2 + 11340x -78732 = 0
これを簡単にして
50x^2 +945x - 6561 = 0

50 = 2*5*56561 = 81^2 = 3*3*27*27

因数分解して

(5x - 27)(10x +243) = 0

x>0なので

5x - 27 = 0
より
x = 27/5 = 5.4

…となるそうです。良く解けたものです。すごいなぁ。